Collège de Nézant

Vous êtes ici : Accueil du site > Disciplines > Mathématiques > Math en jeans 2006 > pick et verger > Introduction sur le problème du verger
Publié : 20 juin 2006

Introduction sur le problème du verger

Le problème du Verger



Introduction

Considérons notre quadrillage : la distance AB correspond à l’unité, AB =1.

Dans notre problème, une unité correspond à 5 m (distance entre deux arbres).

1--->5m

1/50--->10cm = 0,1m.


D’après le théorème de Thalès,

OP / OA = PM / AB.

JPG - 23.2 ko


donc

OP x AB = OA x PM

OA= (OP x AB) / PM


Or, PM>r et AB=1 donc

OA = OP x (1 / PM) avec PM>r ; r =10cm= 1/50. Ici OP est voisin de OM et donc proche de 1.


On a OA > 1 / 50

OA < 50 . On ne voit pas le 50ème arbre.

OA = 49 au maximum.

Sachant que l’observateur est en O.





Les arbres premiers entre eux


Les seuls arbres visibles sont les arbres dont les coordonnées sont premières entre elles.

Exemples : l’arbre qui a les coordonnées (3 ;4), point vert , sera visible car 3 et 4 sont premiers entre eux.

Cette méthode permet seulement de trouver les arbres qui pourraient être visibles,

Mais ils ne le sont pas forcément car l’épaisseur d’un tronc d’arbre pourrait bloquer la ligne de vue.


Condition  : quand BH <r, (B étant le centre de l’arbre et H sa projection sur la droite (OA))

JPG - 13 ko

BH coupe la trajectoire (OA), donc O ne voit A.



Condition : quand BH>r,

JPG - 19.1 ko

le rayon du cercle ne coupe plus (OA), donc il faut que BH>r et BH>1/50



Nous n’avons pris qu’une toute petite partie du verger, pour visualiser, quelques arbres de coordonnées premières entre elles. Les points en rouges sont les arbres que l’on ne voit pas, et les points verts, les arbres que l’on voit.

JPG - 25.2 ko